Derivabilidad de la parte entera

Ejercicio. Derivabilidad de la función parte entera

Decidir en dónde es derivable la función \( f(x) = [x] \) y dar la derivada en los puntos correspondientes.

La función \( [x] \) representa la parte entera del valor \( x \). Así pues, si \( x \in \mathbb{Z} \) se tiene que \( f(x) = x \). Caso contrario, \( f(x) = k \) con \( k \in \mathbb{Z} \) tal que \( k \leq x \leq k+1 \). Es decir, el menor entero anterior a \( x \).

Existe un teorema que nos permite asegurar de entrada que la función no es derivable en los enteros. Dicho teorema establece como condición suficiente de la continuidad la derivabilidad de una función. De manera resumida, se puede decir que si \( f: A \subseteq \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) es derivable en \( x_0 \in A \), entonces \( f \) es continua en \( x_0 \). Una forma equivalente de entender este enunciado es que si la función no es continua en \( x_0 \) entonces no es derivable en \( x_0 \) (es decir, mediante la contrarrecíproca). Puesto que \( f(x) = [x] \) no es continua si \( x \in \mathbb{Z} \), se sigue que no será derivable en ningún número entero.

¿Cómo sabemos que \( f \) no es continua en algún valor entero? Pensemos que la parte entera se comporta como una función constante salvo al llegar a los enteros. En cada entero da “un salto” hacia el entero siguiente. En ese salto se produce la discontinuidad, que se puede ver analizando los límites laterales.

Sea \( k \in \mathbb{Z} \). Entonces \( \lim_{x \to k^{+}} f(x) = k \), ya que \( x > k \), mientras que \( \lim_{x \to k^{-}} f(x) = k-1 \), pues \( x < k \). Como estos límites laterales no coinciden, el límite global no existe y la función posee una discontinuidad de salto en \( k \).

Ahora bien, hemos señalado (y de forma apropiada) que la parte entera de una función se comporta como una función constante. Sabemos que estas funciones son derivables y, más aún, que la derivada de una función constante es la función nula (pues esto nos indica que no existe variación \( \Delta y \) a medida que se produce variación \( \Delta x \)). Cabe lógico suponer que la función parte entera es derivable allí donde sea constante. Es decir, en los intervalos abiertos \( (k, k+1) \) con \( k \in \mathbb{Z} \). Veremos que ocurre esto.

Sea \( a \in (k, k+1) \) para algún \( k \) entero. Quiero ver que \( f \) es derivable en \( a \). Es decir que existe \( \lim_{x \to a} \frac{f(x)-f(a)}{x-a} \). Más aún, quiero ver que este límite es cero. Puedo ver que \( f(a) = k \), y reemplazarlo en mi límite: \( \lim_{x \to a} \frac{f(x)-k}{x-a} \), pero ¿cómo sé que \( f(x) = k \)? Sé que \( f(x) = [x] \), y esto va a ser igual al valor \( k \) siempre que \( x \) esté lo suficientemente cerca de \( a \).

Es por ello que debo recurrir a la definición de límite, que me permite acotar mediante \( \delta \) la cercanía de \( x \) al valor \( a \). Quiero ver que para cualquier \( \varepsilon > 0 \) existe \( \delta > 0 \) tal que si \( |x - a| < \delta \) entonces \( \left| \frac{f(x) - f(a)}{x - a} \right| < \varepsilon \). Para mostrar la existencia de este \( \delta \) basta dar uno explícitamente que me sirva cualquiera sea el valor de \( \varepsilon \).

Si \( a \in (k, k+1) \), tengo que está a cierta distancia de \( k \) y a cierta distancia de \( k+1 \). ¿Cuál de las dos es la menor de esas distancias? En principio lo ignoro, pero si lo supiera, y tomase como variable de control esa longitud, entonces me aseguraría que \( f(x) = k \).

Considero \( \delta = \min\left( a - k, \; (k+1) - a \right) \). Si se cumple que \( |x - a| < \delta \), tengo siempre controlado el valor de la imagen por \( f \) de \( x \). Hemos de comprobar esta última afirmación.

Supongamos que \( |x - a| < \delta \). Se sigue de esto que \( -\delta < x - a < \delta \), de donde se concluye que \( a - \delta < x < a + \delta \). Por la definición de \( \delta \) se tiene que \( \delta \leq (k+1) - a \), de donde \( a + \delta \leq k + 1 \). Por lo tanto \( x < k + 1 \). Y de la misma definición de \( \delta \) tenemos que \( \delta \leq a - k \), de donde \( a - \delta \geq k \), es decir \( x > k \).

Esto nos permite aseverar que \( x \in (k, k+1) \) y por lo tanto \( f(x) = [x] = k \). Entonces, si \( |x - a| < \delta \), tenemos que \[ \left| \frac{f(x) - f(a)}{x - a} \right| = \left| \frac{[x] - [a]}{x - a} \right| = \left| \frac{k - k}{x - a} \right| = 0, \] y sabemos que \( \varepsilon > 0 \). Por lo tanto se satisface la definición de límite y hemos comprobado, no sólo que la función es derivable en cualquier punto interior del abierto \( (k, k+1) \), sino que su derivada en este punto es cero.

Vale decir que \( f \) es derivable en \( \mathbb{R} \setminus \mathbb{Z} = \bigcup_{k \in \mathbb{Z}} (k, k+1) \), y que si \( x \in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Z} \), entonces \( f'(x) = 0 \). Es saludable indicar, entonces, que el dominio de la derivada de \( f \) es \( \mathbb{R} \setminus \mathbb{Z} \).

Sobre grafos y palomas

Hablemos sobre palomas.

El principio del palomar establece que tengo algunas palomas y algunos nidos para ubicarlas. Si la cantidad de palomas supera a la cantidad de nidos, al menos dos palomas tendrán que compartir habitáculo.

En términos matemáticos, si
\( A=\{a_1,a_2, \ldots,a_n\} \) y \( B=\{b_1,b_2, \ldots, b_m\} \) con \( m < n \), y si \( f: A \to B \), entonces existen \( 1 \leq i,j \leq n \) con \( i \neq j \) tales que \( f(a_i)=f(a_j) \). Para terminar de cerrar la analogía, \( a_i, a_j \) son las palomas y la imagen por \( f \) es el nido que comparten.

En otras palabras, la función \( f \) no es inyectiva, ya que a puntos distintos del dominio corresponden idénticas imágenes.

Principio del palomar. El enunciado se sintetiza de la siguiente forma. Si \( f: A \to B \) con \( |A|=n > m = |B| \), entonces \( f \) no es inyectiva.

Veremos cómo usar este resultado para probar la siguiente propiedad de los grafos simples.

Enunciado. Consideremos \( G=\langle V, A \rangle \) un grafo simple con \( |V|>1 \). Llamamos \( A \) al conjunto de aristas y \( V \) al conjunto de vértices. Afirmamos entonces que existen al menos dos vértices que poseen la misma valencia.

Observación. Analicemos la situación para grafos no dirigidos. Las aristas del grafo son subconjuntos de dos vértices. Por lo tanto, \( A \subseteq \mathcal{P}_2(V) \), donde el subíndice indica que, de entre toda la colección de subconjuntos de \( V \), sólo me quedo con los subconjuntos que tienen exactamente dos elementos.

Una pregunta válida es cuántas aristas puede tener un grafo. Si suponemos que \( A = \mathcal{P}_2(V) \), y el grafo posee \( n \) vértices, la cantidad de aristas es la cantidad de subconjuntos de dos elementos tomados de un conjunto de \( n \) elementos. Es decir, \( |A|=\binom{n}{2} \).

Veamos que esto se relaciona de alguna forma con las valencias de los vértices.

\[ \binom{n}{2} = \frac{n!}{2!(n-2)!} = \frac{n(n-1)(n-2)!}{2!(n-2)!} = \frac{n(n-1)}{2} \]

Cada vértice \( v \) puede estar conectado a los restantes \( n-1 \) vértices, y como esto vale para los \( n \) vértices tenemos en total \( n(n-1) \). Pero cada vez que conecto un vértice \( v \) con otro \( w \) y recorro el conjunto de todos los vértices, estoy contando dos veces la arista que los conecta. Por lo tanto, he de partir todo en dos para obtener la cantidad real de aristas del grafo.

Esto me da una muy buena indicación. Cada vértice puede conectarse como mucho con \( n-1 \) vértices. ¿Podría no conectarse con ningún otro vértice? Como estamos en el caso de un grafo simple, no existen vértices aislados (con valencia nula).
Así, para cada \( v \in V \) estamos en la condición de \( 1 \leq \deg(v) \leq n-1 \). Estamos en condiciones de dar la prueba.

Demostración. Llamemos \( \mathrm{Gr}(V) \) al conjunto de valencias de vértices de un grafo simple; tenemos \( \mathrm{Gr}(V)=\{1,2,3,\ldots,n-1\} \), mientras que \( V=\{v_1,v_2,v_3,\ldots,v_n\} \) es el conjunto de vértices del grafo.
Tomemos entonces \( f \) que asigna a cada vértice su valencia. Es decir, \( f:V \to \mathrm{Gr}(V) \). Como \( |V|=n > n-1 = |\mathrm{Gr}(V)| \), en virtud del principio del palomar, se tiene que \( f \) no es inyectiva. Luego existen \( v_i \neq v_j \) vértices tales que \( f(v_i)=f(v_j) \). Y como \( f \) asigna a cada vértice su valencia, observamos que hay al menos dos vértices que tienen la misma, como queríamos probar.